埼玉大学×CASIO 産学共同プロジェクト

日本の数学教育をより良くするために

2020年コロナ禍の中、埼玉大学のご協力のもと、カシオ計算機との産学協同プロジェクトを実施いたしました。
数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開
ClassWiz関数電卓を数学の授業に積極活用した取り組みをご紹介致します。

公開日:2021年6月1日
更新日:2021年11月30日

CASIOの考え方

環境や学びの変化をどこよりも早く捉え実践していき、また地域や教育機関と連携を図り、教育現場の活性化を推進するべく、以下3つの指針をCASIOは重視しています

  • 計算論的思考(Computational Thinking)/アルゴリズム的思考(Algorithmic Thinking)の先を目指して
  • 数学嫌いを減らす挫折させない学習方法の確立
  • 社会事象を取り入れ社会貢献できる力の育成

本プロジェクトについての松嵜昭雄 准教授によるコメント

 OECD(経済協力開発機構)が進めているPISA(Programme for International Student Assessment)調査は,2015年調査より,CBT(Computer-based Testing)方式へと全面的に移行されました。わが国で実施されている,全国学力・学習状況調査においてCBT方式の導入について検討が進められています(内田洋行, 2019)。大学入学共通テストの英語リスニングでICプレーヤーが使用されているように,数学の問題を解決する際にICT機器を使用するようになるかもしれません。また,非営利団体College Board が主催している米国の標準テストSATでは,関数電卓の使用が認められており,関数電卓を使用しないと解決することができない問題も出題されています(松嵜, 2021)。今後,算数・数学科においても,関数電卓をはじめとするICT機器の使用を前提とする教材と授業準備が必要となるでしょう。
 埼玉大学がカシオ計算機株式会社と締結した受託研究「数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開」(研究代表者:松嵜昭雄)では,中等教育段階の数学科教員が,恒常的に関数電卓を用いて,数学授業をおこなえるようになることを目指しています。本受託研究の特徴は,研究グループのメンバーのうち数学授業の実践者である,中等教育段階の数学科教員がワークショップを計画・実施する点です。彼らの豊富なアイデアと確かな実践(Good Practice)をもとに,「教材」「指導案」「関数電卓の操作方法」「実践事例」のパッケージを準備し,先生方の算数・数学授業の一助となることを期待しています。

参考文献
内田洋行(2019)『平成30年度文部科学省委託研究「学力調査を活用した専門的な課題分析に関する調査研究」研究成果報告書 全国的な学力調査におけるICTの活用に関する調査研究』https://www.mext.go.jp/content/1416819_01.pdf(2021年4月9日最終確認)
松嵜昭雄(2021a)「関数電卓使用を前提とする数学授業の構想-2020(令和2)年度の取組-」『数学教育学会2021年度春季年会予稿集』pp.96-98
松嵜昭雄(2021b)「Organized Session B『関数電卓使用を前提とする数学授業の構想』報告」数学教育学会学会『学会通信』72号, pp.9-10

埼玉大学 教育学部 松嵜昭雄 准教授

埼玉大学 教育学部
松嵜昭雄 准教授

プロジェクト代表

埼玉大学教育学部 松嵜昭雄研究室

Lesson Plan 指導案

東京都立工芸高等学校 上田澟太郎 教諭

東京都立工芸高等学校
上田澟太郎 教諭

数学Ⅱ 実数解の個数

この指導案は,埼玉県高等学校数学科標準テスト【数学Ⅱ+B】6(4)をもとに作成しています。関数電卓の「高次方程式」機能では,次数が4までの方程式であれば,解くことができます。これを活用し,5次方程式の実数解の個数について調べる活動をおこないます。その際に,因数定理によって,次数を下げることの意図に注目したい。

PDFファイル
PDFファイル

数学Ⅲ 因数分解の最高次数

この指導案に示した授業では,xn=1の解を高次方程式機能を用いて求めるために,xn−1の因数分解における各因数の最高次数に着目し,その規則性を推測することをねらいとしています。関数電卓の「高次方程式」機能では,次数が4までの方程式を解くことができます。「高次方程式」機能を用いた場合,「高次方程式」機能を用いることができない場合を顕在化させ,因数の多項式の最高次数とxn−1のnには,どのような関係があるかを調べる活動をおこないます。

PDFファイル
PDFファイル
川口市立舟戸小学校 本間太陽 教諭

川口市立舟戸小学校
本間太陽 教諭

活用 確率のワークショップ

この指導案に示したワークショップは,学生が自身の経験等をもとにゲームのルールを決め,関数電卓を用いてゲームの勝つ確率を求めることができることをねらいとしています。関数電卓の「表計算」モードで乱数を表示し,疑似的なゲームの結果を表示しています。そして,その表示されたゲームの結果を求める前と求めた後に,どのような変化があるのかをみることができるように課題を設定しています。

PDFファイル
PDFファイル
開智中学・高等学校 大川健史 教諭

開智中学・高等学校
大川健史 教諭

活用 有明アリーナの天井の光の反射

この指導案に示した授業では,「有明アリーナの天井の光の反射」の課題を通して,有明アリーナの天井を既知の関数に近似し,その微分係数を求めます。微分係数の値をtanの逆三角関数に代入することによって,入射角・反射角を計算することができることをねらいとしています。本時で扱う問題は,様々なICTで解決できます。本時のねらいに即した場合は,関数電卓が適切であると想定し,授業をおこなっています。

PDFファイル
PDFファイル

Standard Test 標準テスト

草加市立草加中学校 今井壱彦教諭 プロジェクト事務局長

草加市立草加中学校
今井壱彦教諭
プロジェクト事務局長

令和元年度(第69回)埼玉県高等学校数学科標準テストを例として,関数電卓を使用した解法と関数電卓を使用しない解法を確認していきました。以下の全体構成図には,埼玉県高等学校数学科標準テスト(数学Ⅰ+A),及び埼玉県高等学校数学科標準テスト(数学Ⅱ+B)の問題分類結果が掲載されています。分類結果は,次の3つです。1つ目は,関数電卓を用いて即時に解決できる問題です。2つ目は,工夫すれば解決できる問題です。3つ目は,関数電卓を使用した解決が困難な問題です。このうち,工夫すれば解決できる問題は,さらに次の3つに分類することができます。1つ目は,関数・条件式の工夫や公式を利用すれば解決できる問題です。これは,問題で与えられた関数・条件式を変形する等の工夫や公式を利用すれば解決できる問題が該当します。2つ目は,関数電卓の使用方法を工夫すれば解決できる問題です。これは関数電卓の各種機能を用いれば解決できる問題が該当します。3つ目は,関数電卓での出力結果を検討・解釈すれば解決できる問題です。これは出力結果がそのまま解答にならず,出力結果の検討・解釈を要する問題が該当します。また,1つの問題が複数の分類に当てはまる場合もあります。また,関数電卓を使用した解決が困難な問題には,次の2つの特徴が挙げられました。1つ目は,文字式の計算を要する問題です。2つ目は,正しい選択肢や正しい曲線を選択する問題です。今後は,これらの特徴も踏まえつつ,他の学力調査を例として,関数電卓を使用した解法と関数電卓を使用しない解法について確認していきます。

表1 関数電卓使用を前提とした際の令和元年度(第69回)埼玉県高等学校数学科標準テストの問題分類(今井,2021,p.100)

即時に解決できる問題 工夫すれば解決できる問題 解決が困難な問題
関数・条件式の工夫や公式を利用すれば解決できる問題 関数電卓の使用方法を工夫すれば解決できる問題 出力結果を検討・解釈すれば解決できる問題
「数学I+A」 1(2)(4) 3(3)(4) 1(5) 1(1)(3) 3(1)
2(3)(4) 4(3)~(5) 3(2)~(5) 2(1)(2)(5) 4(2)
4(1) 6(1)~(5) 5(2)(3) 5(4)
5(1)(5) 7(2)(4)(5) 7(3) 7(1)
8(2) 8(1)(3) 8(4)(5)
「数学II+B」 1(3)(7)(9)(10) 1(1)(4) 2(2)(4) 1(1)(5) 1(2)(6)(8)
4(2) 2(1)~(4) 5(2) 3(2)(4) 3(3)
5(3) 3(1) 6(3) 5(1)(4) 4(1)(4)
7(3) 4(3) 8(2) 6(4) 6(1)(2)
7(4) 9(1) 9(2)(4) 7(1)(2)
9(1)~(3) 8(1)(3)(4)
10(1)~(3) 10(4)

参考文献
今井壱彦(2021)「関数電卓使用を前提とした数学問題解決時の解法に基づく問題分類-令和元年度(第69回)埼玉県高等学校数学科標準テストを例として-」『2021年度数学教育学会春季年会予稿集』 pp.99-101

令和元年度(第69回)埼玉県高等学校数学科標準テスト

それぞれ埼玉県高等学校数学科標準テストの関数電卓を使用した解法、関数電卓を使用しない解法を記載しています。

今井壱彦(2021)「関数電卓使用を前提とした数学問題解決時の解法に基づく問題分類-令和元年度(第69回)埼玉県高等学校数学科標準テストを例として-」『2021年度数学教育学会春季年会予稿集』pp.99-101

テスト 題材 ご作成者 PDFファイルをダウンロード
数学Ⅰ+A 8(2) 最大公約数、最小公倍数 開智中学・高等学校 大川健史 教諭 ダウンロード
3(2) 二次関数 埼玉県立不動岡高等学校 鈴木大樹 教諭 ダウンロード
5(1) 平均値、中央値 草加市立草加中学校 今井壱彦 教諭 ダウンロード
5(4) 相関係数 ダウンロード
数学Ⅱ+B 1(1) 因数分解 東京都立工芸高等学校 上田澟太郎 教諭 ダウンロード
4(2) 三角関数(tan) 草加市立草加中学校 今井壱彦 教諭 ダウンロード
5(2) 不等式 埼玉県立不動岡高等学校 鈴木大樹 教諭 ダウンロード
6(4) 方程式 埼玉県立日高高等学校 波形政輝 教諭 ダウンロード
8(2) 等差数列の和 開智中学・高等学校 大川健史 教諭 ダウンロード

Practice Report 実践報告

川口市立舟戸小学校 本間太陽 教諭

川口市立舟戸小学校
本間太陽 教諭

実践について

今回,【さいころゲーム】を題材としたワークショップで,関数電卓を使用しました。このワークショップでは,例えば「1つのさいころを投げたときの目によって勝ち負けが決まる,㋐偶数の目が出たら勝ちのようなゲームを考えてみよう」という問題を扱いました。対象は,大学生だったので,計算で数学的確率を求めることもできますが,ワークショップでは,統計的確率を求めることにしています。この【さいころゲーム】の勝つ確率を求める際に,関数電卓の「表計算」モードを用いて、擬似的にゲームを行いました。学生たちは,ゲーム結果をグループごとに決めた「ゲームの参加人数」や「ルール」に従い,関数電卓に表示させていました。その中で「表計算」モードのセルやRanInt関数の使い方にグループごとに違いが見られました。例えば,一度にたくさんのゲーム結果を表示させるグループや,1ゲームごとにゲーム結果を表示させるグループがありました。この違いは,実際にさいころを振って確率を求める活動では,見られないでしょう。他にも,少ない時間で,ゲーム結果を表示させることができるおかげで,数学的確率に近づくまで,繰り返すグループもありました。このような統計的確率が数学的確率に近づく様子を,実際の実験で見るとすると,数学的確率に近づくまで膨大な試行回数が必要になります。関数電卓の使用により,実際に統計的確率が数学的確率に近づく様子も見ることができました。また,これは,現行中学校学習指導要領上での数学的確率と統計的確率の取扱いの順番とは,逆になっており,興味深いものでした。

埼玉大学 大学院生 佐藤陽平さん

オブザーバー
埼玉大学 大学院生
佐藤陽平さん

実践について

今回の実践では,まず初めに埼玉県高等学校数学科標準テストの問題を用いて,関数電卓の操作説明をおこないました。例題として取り上げた問題は,数学I+Aの1(2),(4),2(3),(4),5(1)の5問です。いずれも,関数電卓を用いて即時に解決できる問題です。次に,実際に大学生が関数電卓を用いて標準テストを解きました。その際,数人のグループで話し合いながら解きました。あらかじめこちらで,(ホームページ内の標準テストの解法9つのように)解法は想定をしていました。しかし,我々が想定していた解法とは異なる解法をたくさん見ることができました。中には,私が知らなかった機能を発見し,使いこなしている学生も見られました。大学生が標準テストを解いていく中で,こちらも大学生から教わるものがありました。以下が,学生の感想の一部です。「普段は使わないようなところの頭を使ったり, また初めて使う関数電卓の練習にもなったような気がします。(東京都内国立大学理工系学部)」「使いこなせるようになるともっと便利になるので,知識を増やしていきたい。(静岡県内国立大学理系学部)」

川口市立舟戸小学校 本間太陽 教諭

川口市立舟戸小学校
本間太陽 教諭

活用 確率のワークショップ

この実践は,指導案【確率のワークショップ】に基づき,静岡県内国立大学理系学部・東京都内国立大学理工系学部の学生を対象として,おこなわれています。この実践では,様々な関数電卓の使用方法が見られました。特に,関数電卓での乱数表示を行う前に,数学的確率を求め,その確率に近づくように何度も乱数表示をし直すという使用方法は特徴的でした。

PDFファイル
PDFファイル
東京都立工芸高等学校 上田澟太郎 教諭

東京都立工芸高等学校
上田澟太郎 教諭

数学Ⅱ 実数解の個数

この実践は,指導案【数学Ⅱ実数解の個数】に基づき,茨城県内国立大学理系学部の学生を対象として,おこなわれています。この実践では,関数電卓を使用する際の意図を顕在化させる必要性があることが示唆されました。また,紙とペンや関数電卓等,生徒が何を用いて解決しているかだけでなく,解決の意図を顕在化させる手立てが必要であることも示唆されました。

PDFファイル
PDFファイル

Project Member プロジェクトメンバー

開智中学・高等学校 大川健史 教諭

開智中学・高等学校
大川健史 教諭

任天堂の伝説的な社員であった横井軍平さんが残された,「枯れた技術の水平思考」という言葉があります。最新鋭の機器は次々と生み出されていきますが,そこに目を向けるのではなく,広く一般的に普及した機器・技術から,新たな価値を創造して商品にしていく,という考え方です。そのような考え方から,ゲーム&ウオッチやゲームボーイなどの,当時では革新的なゲーム機が開発されたそうです。初めて聞いたときは,なるほどなあと思ったものですが,本研究を進めていくにあたり,我々がやっていることはこの考え方にかなり近いのでは,とはたと思い至りました。確かに関数電卓でできることというのは,タブレットやPCを使えば似たようなことはできるでしょう。ですが,関数電卓でなければできないこと,関数電卓だからこそ実現できること,ということも存在し,そこに豊かな可能性があることを私は確信しています。関数電卓という機器を用いて,新たな数学の授業を創造するという楽しさを先生方と共有することができたら,それに勝る喜びはありません。

東京都立工芸高等学校 上田澟太郎 教諭

東京都立工芸高等学校
上田澟太郎 教諭

現代の学校教育は,Society5.0やGIGAスクールなどのキーワードが乱立しています。また,新高等学校学習指導要領では探究型の学習指導が叫ばれているものの,ICTを活用する多くの探究型の教材では,思い出づくりでしかない一過性のものとなってはいるものも散見されます。30年後の社会を見据え,数学教育がICTをその教育実践においてどのように受け止めるべきなのか,真正面から検討すべき時です。
本研究は,関数電卓使用を前提とした上でどのような数学の内容・方法を検討することができうるかと,その内容・方法をどのように目標として埋め込むこみうるかを中心に研究を進めてきました。今後は,これまでの研究成果に基づき授業実践を進めていくとともに,そのような授業実践を達成しうる教師教育プログラムも検討していきます。ICTの表層的な使用の議論に留まらず,数学教育を通して「人間とは何か」に迫っていきたいと考えています。

草加市立草加中学校 今井壱彦教諭 プロジェクト事務局長

草加市立草加中学校
今井壱彦教諭
プロジェクト事務局長

このプロジェクトでは,20年後,30年後の数学授業を想像しながら,数学授業における関数電卓実用化を目指し取り組んでいます。これまでに,関数電卓使用を前提として,2019年度実施の高等学校生を対象とした数学のテストに出題された問題を解決していきました。出題内容は,教科書の例題に掲載されているような,基礎的・基本的な問題になっています。これにより,今現在のテストや学力調査において,関数電卓を使用した解決を想定することができています。さらに,関数電卓を使用した解決と関数電卓を使用しない解決の異同を確認ができ,関数電卓の長所・短所をつかみつつあります。今現在の数学教育に関数電卓を導入した場合や20年後,30年後の数学教育に関数電卓を導入した場合の両方を考えながら,関数電卓使用により,数学授業での子どもたちの姿がどのように変わるのかを想像しながら,このプロジェクトを進めています。 今後は,いよいよ中等教育段階での関数電卓を用いた授業実践が行われる予定です。そこで得られた示唆をもとに,関数電卓使用を前提とする数学授業の全国展開,グローバル展開を目指します。関数電卓を使用することで,より「数学の核」に迫る授業が実践できることを期待し,そのような授業実践に向けて準備を進めております。

春日部共栄中学高等学校 小篠拓央 教諭

春日部共栄中学高等学校
小篠拓央 教諭

筑波大坂戸高等学校 塚原康介 教諭

筑波大学附属坂戸高等学校
塚原康介 教諭

昭和第一学園 三島直人 教諭

昭和第一学園高等学校
三島直人 教諭

埼玉県立不動岡高等学校 鈴木大樹 教諭

埼玉県立不動岡高等学校
鈴木大樹 教諭

埼玉県立日高高等学校 波形政輝 教諭

埼玉県立日高高等学校
波形政輝 教諭

川口市立舟戸小学校 本間太陽 教諭

川口市立舟戸小学校
本間太陽 教諭

埼玉大学 大学院生 佐藤陽平さん

オブザーバー
埼玉大学 大学院生
佐藤陽平さん

埼玉大学 大学院生 棚澤日菜子さん

オブザーバー
埼玉大学 大学院生
棚澤日菜子さん

埼玉大学 大学院生 松井雄一郎さん

オブザーバー
埼玉大学 大学院生
松井雄一郎さん

これまでの発表論文等のご紹介

本間太陽(2021)「関数電卓の表計算モードを用いたさいころの出目の表現の相違に関する一考察-東京都内国立大学理工学部学生による【さいころゲーム】のルールと勝敗の決定に焦点を当てて-」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.400
本間太陽・松嵜昭雄(2021)「『Grundvorstellungen』の誘発と干渉に関する一考察-静岡県内国立大学理系学部学生対象のワークショップを事例として-」『2021年度第25回数学教育学会大学院生等発表会予稿集』pp.41-43
今井壱彦(2021a)「関数電卓使用を前提とした数学問題解決時の解法に基づく問題分類-令和元年度(第69回)埼玉県高等学校数学科標準テストを例として-」『2021年度数学教育学会春季年会予稿集』 pp.99-101
今井壱彦(2021b)「関数電卓使用を前提とした√2の近似値追求」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.218
松嵜昭雄(2021a)「関数電卓使用を前提とする数学授業の構想-2020(令和2)年度の取組-」『2021年度数学教育学会春季年会予稿集』pp.96-98
松嵜昭雄(2021b)「Organized Session B『関数電卓使用を前提とする数学授業の構想』報告」数学教育学会学会『学会通信』72号, pp.9-10
松嵜昭雄・上田凜太郎・塚原康介(2020)「都内私立女子大学理数系学科の教職課程科目における模擬数学授業研究の取組-学生によるマイクロティーチングに先立つ現職数学科教員による数学授業 GP-」『2020年度数学教育学会春季年会予稿集』pp.189-191
三島直人(2021)「関数電卓の逆三角関数機能を用いた解法-円の接線に関する問題を例にして-」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.390
波形政輝・鈴木大樹(2021)「関数電卓のカルク機能を用いた高次方程式の解の探究に関する教材」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.377
佐藤陽平(2021)「関数電卓使用を前提とした数学問題解決時の解法に基づく問題分類-米国の標準テストSATのThe SAT Math Testのサンプル問題を例として-」『2021年度数学教育学会夏季研究会(関東エリア)発表論文集』pp.21-24
大川健史(2021a)「関数電卓の逆三角関数機能を用いたワークショップの実践報告-『有明アリーナの天井の光の反射』を題材として-」『2021年度数学教育学会春季年会予稿集』 pp.105-107
大川健史(2021b)「関数電卓の逆三角関数機能を用いた授業の提案-『有明アリーナの天井の光の反射』を題材として-」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.391
小篠拓央(2021)「関数電卓の小数表示の制限を題材とした問題の提案-循環節が予想できない小数の数当て問題-」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.401
佐藤陽平・松嵜昭雄(2021)「高等学校数学科における弓道を題材とした二次関数の教材開発に向けて-関数電卓の使用と三十三間堂で行われていた『通し矢』に着目して」『2021年度第25回数学教育学会大学院生等発表会予稿集』pp.32-37
佐藤陽平・塚原康介(2021)「関数電卓使用を前提とする変域決定問題の解法-漫画『弓道士魂』の一場面に着目して-」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.396
鈴木大樹・波形政輝(2021)「関数電卓のカルク機能を用いた高次方程式の解の探究に関する授業実践」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.378
棚澤日菜子(2021)「関数電卓使用を前提とする音律を題材とした数学教材開発に向けて-ピタゴラスの算定法と三分損益法に着目して-」『2021年度数学教育学会夏季研究会(関東エリア)発表論文集』pp.25-28
塚原康介・松嵜昭雄・上田凜太郎(2020)「ICT を利活用する数学指導に対する大学生の捉えの変容-都内私立女子大理数系学科の教職課程科目における模擬数学授業研究を通して-」『2020年度数学教育学会春季年会予稿集』pp.195-197
塚原康介・佐藤陽平(2021)「関数電卓使用を前提とする2次関数の授業提案-漫画『弓道士魂』の一場面に着目した変域決定問題-」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.395
上田凜太郎(2021a)「関数電卓使用を前提とする解決の事例的検討-高次方程式機能に着目したワークショップの設計・実践を通して-」『2021年度数学教育学会春季年会予稿集』 pp.102-104
上田凜太郎(2021b)「関数電卓の高次方程式機能を用いた授業デザイン」日本数学教育学会第103回全国算数・数学教育研究(埼玉)大会『大会発表要旨集』p.394
上田凜太郎・松嵜昭雄・塚原康介(2020)「ICT を利活用する数学教材に対する大学生の捉えの変容-都内私立女子大理数系学科の教職課程科目における模擬数学授業研究を通して-」『2020年度数学教育学会春季年会予稿集』pp.192-194